2022南京信息工程大学自命题考研大纲：012-802高等代数

　　南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试

　　考试大纲

　　科目代码：802

　　科目名称：高等代数

　　第一部分 目标与基本要求

　　试题主要考核考生对高等代数的基础理论、基本知识和基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题的能力。

　　第二部分 具体内容

　　1、多项式

　　(1)了解数域的概念;一元多项式的概念

　　(2)掌握整除、最大公因式、重因式、最小公倍式、可约、不可约、互素、多项式函数等概念;

　　(3)掌握辗转相除法、Eisenstein判别法以及整系数多项式有理根的求法;

　　(4)掌握实系数、复系数多项式的性质。

　　2、行列式

　　(1)了解n级排列、n级行列式、子式及代数余子式的概念;

　　(2)n级行列式的基本性质、行列式的按一行(列)展开方法;Cramer法则;n级行列式的计算。

　　3、线性方程组

　　(1)了解n维向量空间概念;

　　(2)理解向量的线性相关、线性无关、极大无关组、矩阵的秩、自由未知量、增广矩阵等概念;

　　(3)掌握线性方程组有解判别定理;线性方程组解的结构;极大无关组的求法，求解线性方程组的初等变换法;向量线性相关、线性无关性的证明。

　　4、矩阵

　　(1)了解矩阵的概念;伴随矩阵及矩阵的逆的概念、矩阵等价的概念;

　　(2)理解初等变换与初等矩阵的关系;矩阵的运算法则;

　　(3)掌握矩阵的简单分块、性质及其运算法则;积秩定理;矩阵逆的求法。

　　5、二次型

　　(1)了解二次型的概念及其矩阵表示;二次型的标准形及其实、复规范形的概念;

　　(2)掌握正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念;矩阵的主子式及顺序主子式概念;矩阵合同的概念;

　　(3)掌握矩阵(二次型)的正定、半正定、不定的概念及其判定;二次型化为标准形的方法(包括化二次型为标准形之合同变换阵的求法)。

　　6、线性空间

　　(1)了解集合、映射的概念;线性空间的定义与简单性质;

　　(2)理解基变换与坐标变换的概念及其求法;

　　(3)掌握维数、基与坐标的计算;线性子空间、子空间的交与和、直和的概念及其基本性质;子空间的交与和的求法;维数公式及其运用。

　　7、线性变换

　　(1)了解线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵;

　　(2)掌握矩阵特征值与特征向量的概念及其求法;线性变换的值域与核、不变子空间、约当(Jordan)标准形的概念;矩阵特征值与特征向量的基本性质;

　　(3)理解Hamilton一Cayley定理;矩阵与对角矩阵相似的充要条件。

　　8、λ-矩阵

　　(1)掌握λ-矩阵、初等因子、不变因子、行列式因子的计算。

　　(2)掌握若当标准型的求解。

　　9、欧几里得空间

　　(1)理解欧氏空间的定义与基本性质;标准正交基、正交变换、正交矩阵的概念和基本性质;

　　(2)掌握欧几里得空间之向量的长度、单位向量、夹角、以及度量矩阵的概念;施密特(Schmidt)正交化方法;

　　(3)掌握对称矩阵正交对角化方法以及将二次型化为标准形的正交化方法。

　　第三部分 有关说明

　　1、基本要求：理解和掌握一元多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、矩阵、线性方程组、二次型、λ-矩阵)以及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。

　　2、命题说明：题型包括填空题、解答题和证明题，分别占大约30分、80分、40分。试题内容中“了解”部分约占15%，“理解” 部分约占40%，“掌握” 部分约占45%。

　　3、参考书目: 《高等代数》(第四版)，北京大学数学系编，高等教育出版社。

　　4、其他规定：考试方式为闭卷笔试，总分150分，考试时间为180分钟。本科目考试不得使用计算器。