2022南京信息工程大学自命题考研大纲：F02数学专业基础综合

　　南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试

　　考试大纲

　　科目代码：F02

　　科目名称：数学专业基础综合

　　第一部分 目标与基本要求

　　一、目标

　　“数学专业基础综合”科目包括常微分方程和数值分析两门课程，这两门课程是基础数学、应用数学、计算数学和数理统计学的重要基础课程。通过这两门课程的学习，学生能系统地掌握有关常微分方程的基本理论、求解常微分方程的常用方法、数值分析中的经典算法及其分析与应用，并为后继各数学分支的深入研究打下坚实的基础。

　　二、基本要求

　　“数学专业基础综合”课目考试的主要内容为常微分方程的基本理论及各类常微分方程的求解方法、数值分析的基本理论、非线性方程(组)与线性代数方程组的数值方法、数值微分与数值积分及特征值的数值方法等。同时要求考生了解常微分方程的稳定性理论，掌握矩阵分析基础，熟练分析经典算法的稳定性或收敛性，熟悉经典算法的设计及其应用。

　　第二部分 具体内容

　　一、常微分方程部分：

　　1、初等积分法

　　(1) 了解常微分方程产生的背景、它与数学分析和高等代数课程之间的关系，了解线性

　　方程和非线性方程的判别;

　　(2) 了解变量分离方程、齐次方程相关概念;

　　(3) 了解一阶线性方程的相关定义，如齐次方程、非齐次方程、齐次项和非齐次项等，了解Bernoulli方程的概念;

　　(4) 了解全微分方程、积分因子的概念;

　　(5) 了解一阶隐式方程的定义、一阶隐式方程的四种类型、高阶方程的定义;

　　(6) 理解常微分方程相关概念：常微分方程、解、特解、通解，初始条件、积分曲线等;

　　(7) 理解初等积分法的内涵，即利用不定积分求微分方程的解;理解微分形式的变量分

　　离方程;

　　(8) 理解Bernoulli方程的解法、一阶线性方程初始问题的求解公式;

　　(9) 理解全微分方程求解思想，即利用二元函数微分理论，求二元函数微分的原函数;

　　理解积分因子的不唯一性;

　　(10) 理解一阶隐式方程与显式方程的不同之处、一阶隐式方程的求解难点、高阶方程的求解难点;

　　(11) 掌握变量分离方程的解法;

　　(12) 掌握一阶线性齐次方程的解法、常数变易法、一阶线性非齐次方程的解法;

　　(13) 掌握全微分方程的解法、全微分方程的判断、特殊积分因子的求法;

　　(14) 掌握四种类型的一阶隐式方程的求解方法、高阶方程的降阶法(不显含自变量的高阶方程, 恰当导数方程)。

　　2、基本定理

　　(1) 了解解的存在与唯一性定理的条件和结论、解的存在区间、Picard逐步逼近法等概

　　念;

　　(2) 了解局部Lipschitz条件的概念、函数是否满足局部Lipschitz条件的验证、局部

　　Lipschitz条件在解的延展过程中的作用、解对初值的连续依赖性和可微性;

　　(3) 理解全局Lipschitz条件的概念、函数是否满足Lipschitz条件的验证、Lipschitz条件在存在唯一性定理证明中的作用;

　　(4) 理解饱和解、最大存在区间的概念、解的延展过程、饱和解的存在区间与解的渐近

　　关系;

　　(5) 掌握解的存在与唯一性定理的证明、Picard解序列的构造及收敛性的证明，会用

　　Picard逐步逼近法求近似解;

　　(6) 掌握比较原理和解的延展定理及其证明、初值对解的存在区间的影响。

　　3、一阶线性微分方程组

　　(1) 了解线性微分方程组的有关概念(系数矩阵、向量值函数、方程组的初始问题)、方

　　程组解的存在唯一性定理及证明思路;

　　(2) 了解常系数线性微分方程组的系数矩阵的特征方程、特征根、特征向量，了解特征根、特征向量与解的关系;

　　(3) 理解向量值函数线性相关、线性无关的概念，理解Wronsky行列式的概念、基本解组的概念、基本解的Wronsky行列式的性质、Liouville公式;

　　(4) 掌握利用系数矩阵的特征根、特征向量求常系数线性微分方程组的基本解组的方

　　法;

　　(5) 掌握线性(齐次、非齐次)微分方程组解的结构、通解基本定理、常数变易法，掌握向量值函数线性相关、线性无关的判断;

　　(6) 掌握常系数线性微分方程组的解法。

　　4、n阶线性微分方程

　　(1) 了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理、函数组线性相关、线性无关、函数组的Wronsky行列式等概念;

　　(2) 了解n阶常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根;由特征根确定微分方程的

　　解;

　　(3) 了解非齐次项的概念、利用常数变易法求特解的方法;

　　(4) 了解质点运动方程的物理意义、振动、无阻尼自由振动、阻尼自由振动、无阻尼强

　　迫振动、阻尼强迫振动等概念;

　　(5) 了解Laplace变换及其在微分方程初值问题求解问题中的应用;

　　(6) 理解n阶线性微分方程与n维线性方程组之间的关系，即对任意一个n阶线性微分

　　方程，可将其化为一个n维线性方程组，且他们的解是等价的;理解基本解组、Liouville公式;

　　(7) 理解由复特征根如何确定微分方程解的方法;

　　(8) 理解比较系数法与常数变易法的差异;

　　(9) 理解微分方程的解与振动之间的联系，共振概念;

　　(10) 理解幂级数解法大意;

　　(11) 掌握函数组线性相关、线性无关的证明方法，n阶(齐次、非齐次)线性微分方程

　　的通解结构定理的证明;

　　(12) 掌握n阶常系数线性齐次微分方程的解法;

　　(13) 掌握第一类型、第二类型n阶常系数线性非齐次微分方程的解法;

　　(14) 掌握通过求二阶常系数线性方程的通解探讨力学问题中振动现象的方法，理解阻尼项和强迫项对振动的影响;

　　(15) 掌握相关定理及其在微分方程初值问题求解问题中的应用。

　　5、定性、稳定性理论简介

　　(1) 了解稳定性相关概念;

　　(2) 理解简单的李雅普诺夫函数的构造方法、正定函数、负定函数的定义;

　　(3) 掌握李雅普诺夫函数的定义，通过构造简单的李雅普诺夫函数，利用相关定理，判

　　断零解的稳定性。

　　二、数值分析部分

　　1、绪论

　　(1) 了解计算机算法的特性;

　　(2) 理解误差的定性分析与避免误差的危害、数值运算的误差估计、算法的数值稳定性;

　　(3) 掌握误差的来源与分类、误差与有效数字;

　　2、矩阵分析基础

　　(1) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念;

　　(2) 掌握向量和矩阵的范数、向量和矩阵序列的极限;

　　(3) 掌握内积空间中的正交系、矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解;

　　(4) 掌握施密特(Schmidt) 正交化过程、正交多项式;

　　3、数值逼近

　　(1) 了解几种常用插值法的优缺点，并能够根据实际问题选择适当的插值方法进行

　　函数逼近;

　　(2) 了解三角多项式逼近及快速傅立叶变换;

　　(3) 理解插值法的基本原理;掌握用拉格朗日插值公式、牛顿插值公式进行插值的方法及其误差估计;

　　(4) 理解函数逼近、有理逼近的概念;

　　(5) 掌握分段低次插值、样条插值、埃尔米特插值及其插值余项和误差估计方法;

　　(6) 掌握最佳平方逼近方法、曲线拟合的最小二乘法;对于给定的一组数据，能够根据最小二乘原理在某一函数类中选择函数，与其所给数据组拟合来解决一些实际问题。

　　4、线性方程组的数值解法

　　(1) 了解研究求解线性方程组的数值方法分类及直接法的应用范围;

　　(2) 了解极小化方法：最速下降法、共轭梯度法;

　　(3) 掌握线性方程组的直接解法：高斯主元消去法、LU三角分解法、平方根法、追赶法与三对角方程组的解法;

　　(4) 理解矩阵的谱半径、矩阵的条件数等概念，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计;

　　(5) 掌握线性方程组的经典迭代方法：雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法及SOR方法的计算分量形式、矩阵形式以及迭代法的收敛性判定方法;

　　(6) 了解线性方程组的Krylov子空间方法。

　　5、非线性方程组求根

　　(1) 了解求解非线性方程和非线性方程组的常用数值方法;

　　(2) 理解迭代法的基本原理、迭代过程的收敛性及收敛速度、迭代过程的加速原理;

　　(3) 掌握求解非线性方程组的不动点迭代法、牛顿法、弦截法及其收敛性;

　　6、数值积分与数值微分

　　(1) 了解数值微分方法的基本思想、高斯-勒让德等求积公式、多重积分、数值微分公式;

　　(2) 理解数值积分公式的一般形式及导出方法、理解自适应积分方法;比较牛顿-柯特斯求积公式与高斯求积公式的异同点;理解龙贝格算法;

　　(3) 掌握代数精度的概念、插值型的求积公式、几种低阶求积公式的使用及余项分析。

　　7、矩阵特征值问题

　　(1) 了解特征值的估计、正交变换的Givens和Householder变换、矩阵的QR法分解;

　　(2) 理解幂法和反幂法的原理和解决的对象及其加速方法, 矩阵的QR法分解的原理和变形和同时过程;

　　(3) 掌握幂法、反幂法和基本的QR法。

　　第三部分 有关说明

　　1、命题说明(可包含题型设计)：

　　(1) 分值比例：试卷满分为150分，考试时间180分钟。试卷内容包括：数值分析 75分;常微分方程 75分。

　　(2) 题型分布：简答题，约40%;计算、证明题，约60%。

　　2、参考书目：

　　(1) 东北师范大学微分方程教研室. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2005.

　　(2) 李庆杨. 数值分析. 北京：清华大学出版社，2008.

　　3、其他规定：考试方式为闭卷笔试，总分150分，考试时间为180分钟。

　　4、本科目考试不得使用计算器。