2022重庆邮电大学自命题考研大纲：实变函数(J061)

　　重庆邮电大学 2022 年硕士研究生入学

　　《实变函数(J061)》考试大纲

　　满分：100

　　考试性质：同等学力加试

　　试卷结构

　　试卷内容结构

　　集合论 约 20%

　　测度论 约 20%

　　积分论 约 30%

　　微分与不定积分 约 30%

　　试卷题型结构单项选择题 填空题

　　解答题(包括证明题)

　　考试内容和要求第一章 集合

　　1.知识点:集合的概念和运算，对等与基数，可数与不可数集合，曹恩引理

　　2.考核要求: 1)掌握集合交，并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算;2)熟练掌握集合的对等的定义与性质;能熟练应用伯恩斯坦(Bernstein)定理证明集合的对等关系;3)理解基数的定义;掌握可数集与不可数集的性质，会判断给定的集合是否可数。

　　第二章 点集

　　1.知识点：度量空间，聚点、内点和界点，开集、闭集、完备集极其构造。

　　2.考核要求：1)理解和掌握度量空间的定义，邻域的性质，有界点集的定义和 n 维区间的体积;2)熟练掌握 n 维区间点的关系，聚点、内点和界点的定义聚点与等价条件;3)掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系;4)理解和掌握开集、闭集和完备集的性质;5)理解开集的构成区间与余区间，了解开集、闭集的构造;熟练掌握康托尔集的构成和性质。

　　第三章 测度论

　　1.知识点: 约当测度，Lebesgue 外测度和内测度，可测集

　　2.考核要求: 1)测度的定义和性质;2)掌握 Lebesgue 外测度和内测度的定义和基本性质;3)熟练掌握

　　Caratheodory 给出可测集的定义及可测集的基本运算性质;4)掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;

　　5)约当测度与 Lebesgue 测度的关系;6)了解特殊的两类集合，波雷耳集。第四章 可测函数

　　1.知识点：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，依测度收敛。

　　2.考核要求：1)熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念; 2) 理解叶果洛夫定理; 3)理解并掌握鲁津定理及其逆定理;4)熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理

　　第五章 积分论

　　1.知识点：Riemann 积分，勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理

　　2.考核要求：1)了解由确界式定义的 Riemann 积分，及 Riemann 积分的缺陷;

　　2)理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算，勒贝格积分与 Riemann 积分的关系;3)熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性 ; 4)熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。5)牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。

　　第六章 微分与不定积分

　　1.知识点：单调函数的可微性，有界变差函数，不定积分，斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分

　　2.考核要求：1)理解单调函数不连续点集的特点，掌握单调函数的微分定理。 2)掌握有界变差函数的定义及性质。3)深入理解单调函数与有界变差函数的关系。 4)理解绝对连续函数定义与性质，以及它与有界变差函数的关系。 5)掌握领会 L 积分意义下的牛顿一莱布尼兹公式，掌握绝对连续函数与不定积分之间的关系。 6)了解黎曼-斯蒂尔切斯积分与勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念。

　　参考书目

　　1、程其襄等编，实变函数与泛函分析基础(第三版)，高等教育出版社，2009.

　　2、郑维行、王声望，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社 2002.

　　原文链接：http://yjs.cqupt.edu.cn/info/1006/7814.htm