2022重庆邮电大学自命题考研大纲：数学分析(602)

　　重庆邮电大学 2022 年硕士研究生入学

　　《数学分析(602)》考试大纲

　　满分：150

　　考试性质：初试科目

　　考试方式和考试时间：答题方式为闭卷、笔试。考试时间为 180 分钟。

　　试卷结构：

　　试卷内容结构

　　一元微积分学 约 50%

　　广义积分、含参变量积分、无穷级数 约 20%

　　多元微积分学 约 30%

　　试卷题型结构单项选择题 填空题

　　解答题(包括证明题)

　　考试内容和要求

　　第一部分 一元微积分第一章 极限与连续主要考核要求：

　　1、理解数列(函数)极限的概念，掌握数列(函数)极限的定义，会用定义数列(函数)的极限。

　　2、熟练掌握数列(函数)极限的性质及四则运算法则;

　　3、掌握极限的单调有界定理和夹逼原理。

　　4、理解无穷小量、无穷大量的概念;掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系;会进行无穷小量的阶的比较，会运用等价无穷小量代换求极限;

　　5、熟练掌握用两个重要的极限求极限的方法。

　　6、理解函数在一点连续与间断的概念;会用定义判断函数在一点的连续性;理解函数在一点连续与极限存在的关系;

　　7、会求函数的间断点并判定其类型;

　　8、了解连续函数的局部性质;掌握连续函数的四则运算;理解复合函数连续性，反函数的连续性和一致连续性概念;

　　9、掌握闭区间上连续函数的性质，并会用介值定理证明一些简单命题;

　　10、理解初等函数在其定义区间上的连续性;熟练掌握利用连续性求极限的方法。

　　第二章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

　　主要考核要求：

　　1、理解实数完备性定理的证明及其等价性;

　　2、理解闭区间上连续函数性质的证明;

　　3、掌握实数完备性定理在证明数学命题中的应用。

　　第三章 一元函数的微分学

　　主要考核要求：

　　1、理解导数的概念及其几何意义;理解可导性与连续性的关系;掌握运用定义求函数在一点处的导数;

　　2、掌握求曲线上一点处的切线方程与法线方程;

　　3、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法;掌握反函数求导方法;

　　4、掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法;了解求分段函数的导数;

　　5、理解高阶导数的概念，并会求简单函数的 n 阶导数;

　　6、理解函数微分的概念;熟练掌握微分法则;掌握微分与可导的关系;会用一阶微分形式不变性求函数的微分

　　7、理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义，并会用中值定理证明根的存在性和简单的不等式;

　　8、熟练掌握用洛必达法

　　9、理解函数的泰勒公式;掌握泰勒公式的拉格朗日型余项;了解积分型余项和柯西余项;掌握几个基本初等函数的泰勒公式

　　10、熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，并会用函数的单调性证明简单不等式;

　　11、理解函数极值的概念;掌握求函数的极值和最值的方法，并会解简单的应用问题;

　　12、掌握判断函数的凹凸性的方法，并会求曲线的拐点;

　　13、了解弧微分及平面曲线曲率计算的基本公式。第四章 一元函数的积分学

　　主要考核要求：

　　1、理解原函数与不定积分的概念及其关系;掌握不定积分的性质;掌握原函数存在性定理;

　　2、熟练掌握不定积分的基本公式;第一换元法、第二换元法;分部积分法;

　　3、会求简单有理函数的不定积分。

　　4、理解定积分的概念及其几何意义;了解定积分的积分和、上和、下和的概念;掌握定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件;

　　5、掌握定积分的基本性质;

　　6、理解变上限定积分的概念;熟练掌握对变上限定积分的求导方法;

　　7、熟练掌握牛顿---莱布尼茨公式和微积分学基本定理;

　　8、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

　　9、掌握平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算;

　　10、掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用;

　　11、了解定积分的近似计算方法。

　　第二部分 级数与广义积分第一章 数项级数

　　1、了解上、下极限的基本概念;理解上、下极限与极限之间的关系;

　　2、掌握数项级数、级数的收敛与发散的概念;理解并掌握收敛级数的基本性质;掌握级数收敛的必要条件;

　　3、熟练掌握正项级数收敛的判别方法;

　　4、掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念;

　　5、掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法;了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克莱判别法。

　　第二章 广义积分

　　主要考核要求：

　　1、理解无穷限广义积分和无界函数的广义积分的概念;

　　2、掌握非负函数无穷限广义积分收敛性和比较判别法;了解阿贝尔和狄里克莱判别法;

　　3、掌握无界函数的广义积分的收敛性和比较判别法;了解阿贝尔和狄里克莱判别法。第三章 函数项级数

　　主要考核要求：

　　1、理解函数列及其一致收敛性、幂级数的概念;

　　2、理解和掌握函数项级数及其一致收敛性概念;

　　3、掌握一致收敛性 M-判别法;了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法;

　　4、掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质。

　　5、熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径;

　　6、掌握幂级数的性质和幂级数的运算法则;

　　7、掌握简单初等函数的幂级数的展开。第四章 傅里叶级数

　　主要考核要求：

　　1、了解三角级数、正交函数系、函数的傅里叶级数的概念;理解和掌握收敛性定理的证明;

　　2、能将函数展开为傅里叶级数，并利用收敛性定理确定其收敛性;

　　3、掌握偶函数与奇函数的傅里叶级数; 第四部分 多元函数的微积分

　　第一章 多元函数的极限与连续主要考核要求：

　　1、理解平面点集的相关概念;

　　2、了解 R2 上的完备性定理;

　　3、掌握二元函数的概念;理解二元函数的几何意义;

　　4、理解并掌握二元函数极限和累次极限的概念;掌握二元函数极限与累次极限的计算方法;

　　5、理解二元函数的连续性概念;了解有界闭区域上连续函数的性质。第二章 多元函数的微分学及应用

　　主要考核要求：

　　1、理解多元函数可微性与全微分的概念;理解多元函数偏导数的概念;了解可微性的几何意义与应用;

　　2、掌握复合函数微分法;熟练掌握复合函数的求导法则;掌握复合函数的全微分的求法;

　　3、掌握偏导数的几何应用，会求切线、法平面、切平面、法线;

　　4、掌握方向导数与梯度的概念及计算;

　　5、了解二元函数的泰勒公式;

　　6、理解多元函数极值、条件极值问题;

　　7、了解最小二乘法;熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法。第三章 隐函数存在定理、函数相关

　　主要考核要求：

　　1、理解隐函数概念，了解隐函数存在性条件的分析;

　　2、了解隐函数存在定理;掌握隐函数的求导法则;

　　3、了解函数相关的基本概念。第四章 含参变量的积分

　　主要考核要求：

　　1、理解含参量正常积分的概念;掌握含参量正常积分的性质;会利用含参量正常积分的性质处理它的积分和导数;

　　2、理解含参变量广义积分的概念;熟悉含参变量广义积分的一致收敛性的概念;

　　3、掌握含参变量广义积分一致收敛的 M 判别法;了解含参变量广义积分一致收敛狄里克莱判别法、阿贝尔判别法;掌握含参变量广义积分的性质;

　　4、理解B 函数G 函数的定义、定义域及基本性质;了解B 函数与G 函数的关系。

　　第五章 多元函数的积分学及应用主要考核要求：

　　1、熟练掌握直角坐标系下、极坐标系下的二重积分计算;掌握的二重积分计算;

　　2、掌握直角坐标系下三重积分计算;掌握三重积分的变量变换;会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算;

　　3、曲面的面积;重积分在物理学上的应用

　　4、了解重积分在几何上的应用;掌握曲面的面积的计算;掌握重积分在物理学上的简单应用。

　　5、了解广义重积分的概念及计算。

　　6、掌握第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算及相互关系;

　　7、掌握第一类曲面积分和第二类曲面积分的计算及其相互关系。

　　8、熟练掌握格林公式;高斯公式;斯托克斯公式;

　　9、掌握曲线积分与路径无关的条件，并能熟练运用。

　　10、了解场论的相关概念。

　　参考书目

　　1、数学分析(第三版)，陈传璋等. 复旦大学数学系陈传璋等编，高教出版社，2007.

　　2、数学分析(第三版)，华东师大数学系.高教出版社，2004.